内容提要 1

前言 1

第一章　自然数 1
　1.1　序言 1
　1.2　自然数的产生与扩展 3
　　1.2.1　自然数的产生 4
　　1.2.2　数零的产生 7
　　1.2.3　有理数的产生 8
　　1.2.4　无理数的产生 9
　　1.2.5　复数的产生 12
　　1.2.6　四元数和八元数的产生 13
　1.3　自然数的表示理论 17
　　1.3.1　自然数的乘法分解表示 18
　　1.3.2　自然数的加法分解表示 19
　1.4　整数的等价关系与做商集 21
　　1.4.1　有理数的等价类表示 22
　　1.4.2　抽象的等价类“商”系统 23

第二章　线性代数中的内表问题 26
　2.1　线性空间 27
　　2.1.1　向量的线性表示(线性表出)和线性组合 28
　　2.1.2　线性相关与线性无关 29
　　2.1.3　基与维数 30
　　2.1.4　线性方程组解的表示 31
　2.2　内积空间 33
　　2.2.1　内积空间的定义 34
　　2.2.2　向量的长度 34
　　2.2.3　向量的夹角 35
　　2.2.4　标准正交基 35
　2.3　矩阵 37
　　2.3.1　m×n中元素基于秩的分解 37
　　2.3.2　n×n中元素的对称与反对称和分解 39
　　2.3.3　n×n中元素的乘积分解 41
　　2.3.4　n×n中元素的奇异值分解 44
　　2.3.5　n×n中矩阵的极分解 45
　　2.3.6　方阵关于对称矩阵和对合矩阵的分解 47

第三章　高等代数中的内表和外延问题 49
　3.1　多项式的内表问题 49
　　3.1.1　一元多项式算术基本定理 50
　　3.1.2　多元多项式的分解定理 53
　3.2　线性空间基于线性变换的分解 54
　　3.2.1　线性空间关于线性变换的谱分解 54
　　3.2.2　基于线性变换的不变子空间分解 55
　　3.2.3　基于正规算子的子空间分解 55
　3.3　线性变换基于线性空间的分解 57
　　3.3.1　线性变换的投影分解定理 57
　　3.3.2　线性变换的极分解定理 58
　3.4　线性空间的商空间 60

第四章　抽象代数中的内表和外延问题 63
　4.1群 63
　　4.1.1　群的内表问题 65
　　4.1.2　群通过等价关系外延问题 76
　　4.1.3　可解群的一个自然数简单类比 83
　4.2　环 85
　　4.2.1　环及相关定义 85
　　4.2.2　整环的内表和外延问题 93
　　4.2.3　整环的分式环 94
　　4.2.4　环的模表示理论 95

第五章　高等数学中的内表问题 98
　5.1　基本初等函数表示一般初等函数的问题 98
　5.2　积分计算中的特殊元近似表示一般元素的问题 101
　　5.2.1　定积分的黎曼和近似表示 101
　　5.2.2　二重积分的黎曼和近似表示 102
　　5.2.3　曲线与曲面积分的黎曼和近似表示 102
　5.3　函数的幂级数表示 103
　5.4　周期函数的傅立叶级数表示 105
　5.5　由简单函数的包络表示 107

第六章　微分方程中的内表问题 108
　6.1　齐次线性微分方程组通解的表示 108
　6.2　常系数线性微分方程组解的表示 110

第七章　泛函分析中的内表和外延问题 113
　7.1　泛函空间的内部表示 114
　7.2　赋范空间(代数)的商空间 115

第八章　概率论中的内表和外延问题 117
　8.1　概率论中的内表问题 117
　8.2　正态分布的内表问题 119

第九章　拓扑空间中的内表和外延问题 122
　9.1　拓扑空间的内表问题 123
　9.2　拓扑空间的外延问题 124

第十章　金融数学与金融工程中的内表问题 127
　10.1　股票价格过程表现的内表问题 128
　　10.1.1　离散形模型 128
　　10.1.2　连续性模型 129
　10.2　Black-Sholes期权定价公式表现的内表问题 130

参考文献 132

后记 134